Teil 2 fertig.

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\section{Topologie}

Notation: X eine Menge, $\mathcal{P}(X)$ die Potenzmenge von X.

\begin{dfn}
    Eine \emph{Topologie} $\tau$ auf einer Menge X ist eine Teilmenge
    $\tau\subset\mathcal{P}(X)$ mit
    \begin{enumerate}
        \item $\emptyset, X \in \tau$
        \item Ist $I\subset \tau$, dann $\bigcup_{U\in I} U \in\tau$
        \item $\mdef{U_1, \ldots, U_n} \subset \tau$, dann
            $\bigcup_{i=1}^n U_i \in \tau$
    \end{enumerate}
    Das Paar $(X, \tau)$ ist dann ein \emph{topologischer Raum}, $U\in\tau$ heißt
    eine \emph{offene Teilmenge von $X$}.
\end{dfn}

\begin{dfn}
    Sei $X$ eine Menge, $\tau_1$ und $\tau_2$ Topologien auf $X$.
    \begin{itemize}
        \item $\tau_1$ heißt \emph{feiner} als $\tau_2$, falls $\tau_2\subset\tau_1$
        \item $\tau_1$ heißt \emph{strikt feiner} als $\tau_2$, falls
            $\tau_2\subsetneq\tau_1$
        \item $\tau_1$ und $\tau_2$ heißen \emph{vergleichbar}, falls
            $\tau_1\subset\tau_2$ oder $\tau_2\subset\tau_1$
    \end{itemize}
\end{dfn}

\begin{bsps}
    \begin{enumerate}
        \item $(X,d)$ metrischer Raum und sei $\tau_d$ die Menge der offenen
            Teilmengen von $X$. Dann ist $\tau_d$ die \emph{metrische Topologie}
            auf $(X,d)$.
        \item $\mathcal{P}(X)$ ist eine Topologie auf $X$ (diskrete Topologie). Es
            ist die feinste aller Topologien.
        \item $\tau = \mdef{\emptyset, X}$ definiert eine Topologie auf X. Sie
            heißt die \emph{grobe Topologie}.
        \item $X=\mdef{1,2,3}$. Dann sind $\tau_1=\mdef{\emptyset,X,\mdef{1}}$ und
            $\tau_2=\mdef{\emptyset, X, \mdef{2}, \mdef{2,3}}$ Topologien auf $X$,
            die nicht vergleichbar sind. Dagegen ist
            $\mdef{\emptyset, X, \mdef{1}, \mdef{2}, \mdef{2,3}}$ keine Topologie.
        \item Sei $X$ eine Menge und
            $\tau = \mdef{\emptyset}\cup\mdef[U\subset X]{X\setminus U \ \text{ist endlich}}$.
            Das definiert eine Topologie auf $X$, die \emph{Endliche-Komplemente-Topologie}
    \end{enumerate}
\end{bsps}

Im Fall von metrischen Räumen hat man die Topologie mit Hilfe der offenen Kugeln
definiert, ähnlich\begin{dfn}
    Sei $X$ eine Menge. Eine \emph{Basis} $B$ einer Topologie auf $X$ ist eine
    Teilmenge $B\subset\potmenge{X}$ mit
    \begin{itemize}
        \item $\forall x\in X\ \exists U\in B$ mit $x\in U$
        \item Falls $U_1,U_2\in B$ und $x\in U_1 \cap U_2$, dann existiert ein
            $U_3 \in B$ mit $x\in U_3 \subset U_1\cap U_2$
    \end{itemize}
\end{dfn}

\begin{stz}
    Sei $X$ eine Menge, $B\subset\potmenge{X}$ eine Basis. Sei
    $\tau\subset\potmenge{X}$ mit $U\in\tau$ genau dann, wenn es für jedes $x\in U$
    ein $V\in B$ gibt, mit $x\in V\subset U$. Dann ist $\tau$ eine Topologie auf $X$.
    Sie heißt die \emph{von $B$ erzeugte Topologie}.

    \begin{proof}[Beweis]
        \begin{itemize}
            \item $\emptyset\in\tau$ klar.
            \item $X\in\tau$ klar (2.4).
            \item bla
        \end{itemize}
    \end{proof}

\end{stz}

\begin{lem}
    Sei $X$ eine Menge, $B\subset\potmenge{X}$ eine Basis und $\tau$ die von $B$
    erzeugte Topologie. Dann gilt: \[\tau = \mdef[\cup_{U\in I}U]{I\subset B}\]

    \begin{proof}[Beweis]
        Analog zu Lemma 1.35 (ref).
    \end{proof}
\end{lem}

\begin{lem}
    Sei $(X, \tau)$ ein topologischer Raum. Sei $B\subset \tau$ mit der Eigenschaft:
    F"ur jedes $U\in \tau$ und jedes $x\in U$ existiert $V\in B$ mit $x\in V\subset U$.
    Dann ist $B$ eine Basis, die $\tau$ erzeugt.

    \begin{proof}
        \begin{enumerate}
            \item $X$ ist offen, also $\forall x\in X \exists V\in B$ mit $x\in V$.
                Damit gilt 2.4(1) (ref).
            \item Sei $x\in V_1\cap V_2$ mit $V_1, V_2 \in B \Rightarrow V_1, V_2 \in \tau$.
                also $x\in V_1\cap V_2$ offen, also $\exists V_3$ mit
                $x\in V_3\subset V_1\cap V_2$ (2.4(2) ref).
            \item Sei $\tau'$ die Topologie, die von $B$ erzeugt wird. Wir m"ochten zeigen:
                $\tau' = \tau$.\\
                Sei $U\in\tau'$, dann ist $U$ Vereinigung von Elementen in $B$
                (Lemma 2.6 ref),
                aber alle solche sind offen in $\tau$, also gilt $U\in\tau$.\\
                Umgekehrt: Sei $U\in\tau$, $x\in U$, dann existiert $V\in B$ mit
                $x\in V\subset U$, also ist $U$ offen bez"uglich $\tau'$.
        \end{enumerate}
    \end{proof}
\end{lem}

\begin{lem}
    Seien $B_1$, $B_2$ Basen von Topologien $\tau_1$, $\tau_2$ auf $X$. Dann ist $\tau_1$
    genau dann feiner als $\tau_2$, wenn f"ur jedes $U\in B_2$ mit $x\in U$ ein $V\in B_1$
    existiert mit $x\in V\subset U$.
    \begin{proof}
    \subsubsection*{Hinrichtung}
        Sei $x\in X$, $U\in B_2$ mit $x\in U$, da $\tau_2 \subset \tau_1$ ist $U$ offen in
        $\tau_2$ (?!). Damit existiert per Definition (von was?) ein $V\in B_1$ mit
        $x\in V\subset U$.
    \subsubsection*{R"uckrichtung}
        Sei $W\in\tau_2$ und sei $x\in W$. Dann existieren $V\in B_2$ und $x\in V\subset W$.
        Damit existiert nach Annahme ein $U\in B_1$ mit $x\in U\subset V$. Also
        $X\in W \subset U$ und $W\in \tau_1$.
    \end{proof}
    \begin{bsp}
        $(X,d)$ metrischer Raum. Dann ist $\mdef[B_\eps(x)]{x\in X,\ \eps > 0}$ eine Basis
        f"ur die metrische Topologie.
    \end{bsp}
    \begin{bsp}
        $X = \R$ und $B_l = \mdef[[a,b)]{a,b\in \R,\ a < b}$. Dann ist $B_l$ eine Basis, die
        entsprechende Topologie hei\ss{}t die $blabla$ Topologie $\tau_l$.
        \begin{bem}
            $T_l$ ist strikt feiner als die euklidische Topologie.
        \end{bem}
    \end{bsp}
\end{lem}

\begin{dfn}
    Eine Teilmenge $S\subset \potmenge{X}$ ist eine \emph{Subbasis} einer Topologie auf $X$,
    falls
        \[ \forall x\in X \exists U\in S \ \text{mit}\ x\in U \].
    \begin{stz}
        Die Teilmenge $B \subset \potmenge{X}$, $B := \mdef[U_1 \cap \ldots \cap U_n]{n\in \N,\ U_i \in S}$
        ist eine Basis. Die erzeugte Topologie hei\ss{}t von der Subbasis $S$ erzeugt.
        \begin{proof}
         Klar
        \end{proof}
    \end{stz}
    \begin{bsp}[$\R^n$ mit der euklidischen Topologie]
        Sei f"ur $i\in \underbar{n} = {1, \ldots, n}$ und $\alpha\in\R$
        \[S^+(i, \alpha)=\mdef[x\in\R^n]{x_i>\alpha}\]
        \[S^-(i, \alpha)=\mdef[x\in\R^n]{x_i<\alpha}\]
        Dann ist $S=\mdef[S^+(i,\alpha)]{i\in\underbar n,\ \alpha\in\R}
                    \cup \mdef[S^-(i,\alpha)]{i\in\underbar n,\ \alpha\in\R}$
        eine Subbasis der euklidischen Topologie.
    \end{bsp}
    \begin{bsp}[Punktweise Konvergenz]
        Sei $(X,\tau)$ ein topologischer Raum und $\Omega$ eine Menge. Man
        definiert eine Topologie auf $X^\Omega = \mdef{f:\Omega\to X}$ durch die
        Angabe einer Subbasis:
        \[S=\mdef[s(\omega, U)]{\omega\in\Omega,\ U\in\tau} \text{ mit }
          s(\omega, U)=\mdef[f:\Omega\to X]{f(\omega)\in U}\]
        Es gilt $s(\omega, X)=X^\Omega$ also ist $S$ eine Subbasis, zum Beispiel
        f"ur $X^\Omega = \R^\R$. Die so definierte Topologie hei\ss{}t die
        \emph{Topologie der punktweisen Konvergenz}.
    \end{bsp}
\end{dfn}

\begin{dfn}
    Ein topologischer Raum hei\ss{}t \emph{metrisierbar}, wenn es auf $X$ eine
    Metrik $d$ gibt, mit $\tau=\tau_d$.
    \begin{bsp}
        \begin{enumerate}
         \item Die diskrete Topologie ist metrisierbar durch die diskrete Metrik
         \item Hat $X$ mehr als ein Element, so ist die grobe Topologie nicht
            metrisierbar.
         \item $\tau_l$ auf $\R$ und punktweise Konvergenz auf $\R^{(\R^n)}$ ist
            nicht metrisierbar.
        \end{enumerate}
    \end{bsp}
\end{dfn}

\begin{dfn}
    Seien $(X,\tau)$ und $(Y, \tau')$ topologische R"aume. Auf dem Produkt
    $X\times Y$ definiert man die \emph{Produkttopologie} mit Hilfe einer
    Subbasis
    \[S = \mdef[U\times V]{U\in\tau} \cup \mdef[X\times V]{V\in\tau'}\]
    mit entsprechender Basis
    \[B = \mdef[U\times V \subset X\times Y]{U\in\tau,\ V\in\tau'}\]

    \begin{bem}
        \begin{enumerate}
         \item $B$ selbst ist keine Topologie auf $X\times Y$, z.B. $(0,\ 1)^2
            \cup (1,\ 2)^2 \subset \R^2$.
         \item Seien $B_1, B_2$ (bzw. $S_1, S_2$) Basen (bzw. Subbasen) f"ur
            $\tau,\tau'$, dann ist
            \[B = \mdef[U\times V]{U\in B_1,\ V\in B_2}\]
            eine Basis (bzw. entsprechend mit $S_{1,2}$ Subbasis) von $X\times Y$.
        \end{enumerate}
    \end{bem}
\end{dfn}

\begin{dfn}
    Sei $(X,\tau)$ ein topologischer Raum, $X\subset Y$ eine Teilmenge, dann ist
    $\tau_Y = \mdef[U\cap Y]{U\in\tau}$ eine Topologie auf $Y$, die
    \emph{Teilraumtopologie}.

    \begin{bem}
        \begin{enumerate}
         \item Analog zu (bla, ref 2.17) f"ur Basis und Subbasis
         \item Sei $(Y,\tau_y) \subset (X,\tau)$ Teilraum. Dann ist die Aussage
            "`$U\subset X$ ist offen"' nicht ganz klar, meist bzgl. $X$. Aber
            im Allgemeinen ist $U\in\tau$ und $U\in\tau_Y$ nicht "aquivalent.
            (Beispiel)
         \item Ist $(X,d)$ metrisch, $Y\subset X$ mit induzierter Metrik $d_Y$,
            dann ist $\tau_{d_Y}$ die Unterraumtopologie.
        \end{enumerate}
    \end{bem}
\end{dfn}

\begin{bsp}
    $l^2$ bla.
\end{bsp}

\begin{dfn}
    Sei $(X. \tau)$ topologischer Raum. $A\subset X$ hei\ss{}t abgeschlossen,
    falls $(A\setminus)\in\tau$.
\end{dfn}

\begin{bsp}
    Abgeschlossene Kugel.
\end{bsp}

\begin{stz}[Dualsatz]
    Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum.
    \begin{itemize}
     \item $X, \emptyset$ sind abgeschlossen
     \item $\mdef{A_\alpha}_{\alpha\in I}$ mit $A_\alpha$ abgeschlossen, dann ist
        $\bigcap_{\alpha\in I} A_\alpha$ abgeschlossen
     \item $A_1,\ldots, A_n$ abgeschlossen, dann ist auch $\bigcup_{i=1}^n A_i$
        abgeschlossen.
    \end{itemize}
    \begin{proof}
        De Morgan.
    \end{proof}
    \begin{bem}
        Man k"onnte topologische R"aume auch mit $\mdef[A\subset X]{A\text{ abgeschlossen}}$
        mit den Punkten des Satzes als Axiomen definieren.
    \end{bem}
\end{stz}

\begin{lem}
   \begin{enumerate}
    \item Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum, $(Y,\tau_Y)$ Teilraum, dann ist
        $A\subset Y$ abgeschlossen bezüglich $\tau_Y$, wenn es $C\subset X$
        abgeschlossen gibt mit $A=C\cup Y$.
    \item Ist $Y$ abgeschlossen in $X$, so ist $A\subset Y$ genau dann abgeschlossen
        in $Y$, wenn $A$ in $X$ abgeschlossen ist.
   \end{enumerate}
\end{lem}

\begin{dfn}
    Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum, $A\subset X$
    \begin{itemize}
        \item Der Abschluss von $A$ in $X$ ist die Teilung
            \[\overline{A} = \bigcap\mdef[B\subset X]{B \text{ abgeschlossen und }
              A\subset B}\]
        \item Dass Innere von $A$ in $X$ ist die Teilung
            \[A^o = \bigcup\mdef[O\subset X]{O\text{ offen, } O\subset A}\]
    \end{itemize}
    \begin{bem}
        \begin{itemize}
            \item $\overline{A}$ abgeschlossen, $A$ abgeschlossen $\Equiv
                \overline{A} = A$
            \item $A^o$ offen, $A$ offen $\Equiv A^o = A$
        \end{itemize}
    \end{bem}
\end{dfn}

\begin{stz}
    Sei $(X,\tau)$ ein topologischer Raum, $(Y,\tau_Y)$ ein Teilraum und $A\subset Y$
    eine Teilmenge. Dann gilt:
    \begin{enumerate}
        \item $\overline{A}^Y = \overline{A}^X \cap Y$
        \item $A^{o^X} \cap Y \subset A^{o^Y}$ und $\supset$ genau dann, wenn $Y$ offen.
    \end{enumerate}
    \begin{proof}
        Klar.
    \end{proof}
\end{stz}

\begin{stz}
    Den Abschluss $A\subset(X,\tau)$ kann man wie folgt charakterisieren:
    \[x\in \overline{A} \Equiv \forall U\in \tau\text{ (oder einer Basis von $\tau$)
      mit } x\in U \text{ gilt } U\cap A \neq \emptyset\]
\begin{proof}
    \begin{align*}
        & x\in\overline{A} \Equiv x\notin
            \bigcap \mdef[B\subset X]{B \text{ abgeschlossen, } A\subset B} \\
        \Equiv & \exists B \text{ abgeschlossen, } A\subset B,\ x\in B \\
        \Equiv & \exists U \text{ offen (}U = X\setminus B\text{) mit } x\in U
            \text{ und } U\cap A = \emptyset
    \end{align*}
\end{proof}
\end{stz}

\begin{dfn}
    Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum. $V\subset X$ ist eine Umgebung von $x\in X$,
    falls $x\in V^o$ (muss nicht offen sein).

    \begin{bsp}
        \begin{enumerate}
            \item $(V,\norm{\cdot})$ normierter Raum, dann gilt:
                \[\overline{B}_\eps(x) \text{ ist Umgebung von } x\]
            \item $\Q\in \R$ eukl., dann gilt: $\overline{\Q}=\R$
            \item $X$ mit der groben Topologie, $A\subset X$
                \[\Rightarrow A^o = \emptyset,\ \overline{A} = X\]
            \item $A=\mdef[\frac{1}{n}]{n = 1, \ldots}\subset\R$ eukl., dann gilt
                $\overline{A} = \mdef{0} \cup A$
        \end{enumerate}
    \end{bsp}
\end{dfn}

\begin{dfn}
    $(X,\tau)$ topologischer Raum, $A\subset X$. $x$ ist ein \emph{Berührungspunkt}
    von $A$, falls für jede offene Umgebung $V$ von $x$ gilt:
    \[V\setminus \mdef{x}\cap A\neq \emptyset\]
    \begin{bsp}
        \begin{enumerate}
            \item $\overline{B_\eps(x)}$ ist die Menge der Berührungspunkte von
                $B_\eps(x)$ im normierten Fall
            \item Jedes $x\in\R$ ist Berührpunkt von $\Q$
            \item $X$ grob, dann ist jeder Punkt $x\in X$ ein Berührpunkt von
                $\mdef{y}\subset X,\ x\neq y$
            \item $0$ ist der einzige Berührungspunkt von
                $A=\mdef[\frac{1}{n}]{n=1,\ldots}$
        \end{enumerate}
    \end{bsp}
\end{dfn}

\begin{stz}
    $(X,\tau)$ topologischer Raum, $A\subset X$. Sei $A' = \mdef[x\in X]
    {x\text{ berührt } A}$. Dann gilt $\overline{A} = A\cup A'$.

    \begin{krl}
        $A\subset (X,\tau)$ ist genau dann abgeschlossen, wenn es alle seine
        Berührungspunkte enthält.
    \end{krl}
\end{stz}

\begin{dfn}
    $(X,\tau)$, $(Y,\tau')$ topologische Räume, $f:X\to Y$ eine Abbildung.
    \begin{itemize}
        \item $f$ ist stetig am Punkt $x\in X$ wenn für jede Umgebung von $V$ von
            $f(x)$ eine Umgebung $W$ von $x$ existiert mit $f(W)\subset V$
        \item $f$ ist stetig, falls $f^{-1}(U)$ offen für alle $U\subset Y$ offen.
    \end{itemize}
    \begin{bem}
        Im metrischen Fall sind beide Punkte für alle $x\in X$ äquivalent.
    \end{bem}

    \begin{bsps}
        \begin{enumerate}
            \item $(X,\tau)\overset{id}{\to}(X,\tau')$ ist genau dann stetig, wenn
                $\tau$ feiner als $\tau'$ ist
            \item[bla] Hat $X$ die grobe Topologie, dann ist jede Abbildung
                $(Y,\tau')\to(X,\tau)$ stetig
            \item Die Inklusion $(Y,\tau_Y)\hookrightarrow (X,\tau)$ von Teilräumen
                ist stetig
            \item Konstante Abbildungen $X\overset{f}\to Y,\ f(x) = y \forall x\in X$
                sind stetig
            \item Sind $f:X\to Y$ und $g: Y\to Z$ stetig, dann ist auch $g\circ f$
                stetig
            \item Aus 3. und 5. folgt: $(X,\tau_X)\subset(X,\tau)$ und $f:Y\to Z$
                stetig, dann ist $f\Vert_X$ stetig
            \item $Y$ Teilraum von Z, ist $f:X\to Y$ stetig, so ist $f:X\to Z$ stetig
            \item $X\overset{f}\to Z$ stetig mit $f(X)\subset Y\subset Z$, so ist
                $h:X\to Y$ mit $h(x) = f(x)\ \forall x\in X$ auch stetig
            \item Gilt $X = \bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha$ mit $U_\alpha\subset X$
                offen, dann ist $f:X\to Y$ offen, genau dann stetig, wenn
                $f\Vert_{U_\alpha}$ stetig $\forall\alpha\in I$ ist (\emph{offenes
                Klebelemma})
        \end{enumerate}
    \end{bsps}
\end{dfn}

\begin{stz}
    Für $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$ sind äquivalent:
    \begin{itemize}
        \item $f$ ist stetig
        \item für alle $A\subset X$ gilt $f(\overline{A}) = \overline{f(A)}$
        \item für alle $B\subset Y$ abgeschlossen ist $f^{-1}(B)$ abgeschlossen
    \end{itemize}
\end{stz}

\begin{lem}[abgeschlossenes Klebelemma]
    Sei $(X,\tau)$ ein topologischer Raum, $n\in\N$, $A_1,\ldots,A_n$ abgeschlossene
    Teilräume von $X$ mit $X=\bigcup_{i=1}^n A_i$. Sei $f:A_i\to(Y,\tau)$ stetig
    für $i = 1, \ldots, n$ so dass $f_i\Vert_{A_i\cap A_j}=f_j\Vert_{A_i\cap A_j}$
    für alle $1\leq i, j \leq n$. Dann ist die Abbildung $f : X \to Y$, $f(x) = f_i(x)$
    für $x\in A$ stetig.
    \begin{proof}
        $B\subset Y$ abgeschlossen. Es gilt: $f^{-1}(B) = \bigcup_{i=1}^n f^{-1}_i(B)$
        abgeschlossen.
    \end{proof}
    \begin{bem}
        Das Lemma gilt nicht allgemein für $\mdef{A_i}_{i\in I}$ mit $I$ unendlich,
        z.B. $f:\R\to\R$, $f(0) = 0$, $f(x) = \frac{1}{x}$ für $x\neq 0$.
        $A_0 = \mdef{0}$, $A_n = (-\infty,-\frac 1n]\cup[\frac 1n, \infty)$
        abgeschlossen, $\R=\bigcup_{i=0}^\infty A_i$, $f\Vert_{A_i}$ stetig.
    \end{bem}
\end{lem}

\begin{dfn}
    $(X,\tau)\in Top$, $\mdef{x_n}_{n\in\N}\subset X$ eine Folge in $X$ und $x\in X$.
    Man sagt $x$ ist ein \emph{Limes} von $\mdef{x_n}_{n\in\N}$, falls für jede
    Umgebung $V$ von $x$ ein $N\in\N$ existiert mit $n\geq N\Rightarrow x_n\in V$.
\end{dfn}

\begin{lem}
    $(X,\tau)$ ein topologischer Raum, $\mdef{x_n}_{n\in\N}\subset X$ und
    $x\in\lim_{n\to\infty}x_n$
    \begin{enumerate}
        \item Ist $f:X\to Y$ stetig, so gilt $f(x)\in \lim f(x_n)$
        \item Ist $A\subset X$ eine Teilmenge und $\mdef{x_n}_n \subset A$, dann gilt
            $x\in\overline{A}$
    \end{enumerate}
    \begin{proof}
        \begin{enumerate}
            \item Ist $V$ eine Umgebung von $f(x)$, dann existiert eine Umgebung
                $U$ von $x$ mit $f(U)\subset V$. $\exists N$ mit $x_n\in U\ \forall
                n > N$, also $f(x_n)\in f(U)\subset V$
            \item genauso
        \end{enumerate}
    \end{proof}
    \begin{bem}
        $(X,\tau)$ topologischer Raum, $\mdef{x_n}_n\subset X$
        \begin{itemize}
            \item $\mdef{x_n}_n$ kann verschiedene Limites haben. Ist zum Beispiel
                $\tau$ die grobe Topologie. Dann sind alle Punkte von $X$ ein $Limes$
                von $\mdef{x_n}$
            \item Die Umkehrungen des Lemmas gelten nicht.\\
                Ist $f(x) \in \lim f(x_n)$ für alle Folgen $x_n$ mit $x\in\lim x_n$,
                dann sagt man $f$ ist \emph{folgenstetig} in $x$ $\nRightarrow$
                stetig in $x$.\\
                Ebenso gilt $x\in\overline{A}$, so ist $x$ nicht notwendigerweise ein
                Limes einer Folge in $A\subset X$
        \end{itemize}
    \end{bem}
\end{lem}

\begin{stz}
    Seien $(X,\tau)$ und $(Y,\tau')$ topologische Räume, $B'$ (bzw. $S'$) eine Basis
    (bzw. Subbasis) von $\tau'$. Sei $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$ eine Abbildung.
    Dann sind äquivalent:
    \begin{itemize}
        \item $f$ stetig
        \item $f^{-1}(U)$ offen $\forall U\in B'$
        \item $f^{-1}(V)$ offen $\forall V\in S'$
    \end{itemize}
    \begin{proof}
        Klar (bla ref)
    \end{proof}
\end{stz}

\begin{dfn}
    $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$ heißt \emph{Homöomorphismus} (oder eine
    \emph{topologische Äquivalenz}), falls
    \begin{itemize}
        \item $f$ bijektiv
        \item sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ stetig
    \end{itemize}
\end{dfn}

\begin{dfn}
    $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$ heißt
    \begin{itemize}
        \item \emph{offen}, falls $f(U)\in \tau'\ \forall U\in\tau$
        \item \emph{abgeschlossen}, falls $f(A)$ abgeschlossen für $A\subset X$
            abgeschlossen
    \end{itemize}
\end{dfn}

\begin{lem}
    Sei $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$. Dann sind äquivalent:
    \begin{enumerate}
        \item $f$ ist ein Homöomorphismus
        \item $f$ ist bijektiv, stetig und offen
        \item $f$ ist bijektiv, stetig und abgeschlossen
    \end{enumerate}
    \begin{bem}
        Eine stetige offene Abbildung muss nicht abgeschlossen sein, umgekehrt auch
        nicht.
    \end{bem}
    \begin{bsps}
        \begin{enumerate}
            \item Inverse und Verknüpfungen von Homöomorphismen sind wieder
                Homöomorphismen
            \item $a < b\in\R$, dann sind $(a,b)\subset\R$ und $\R$ homöomorph
                (eukl.):
                \begin{align}
                    f:(-1,1)\to\R,\ &f(x) = \frac{x}{1-\norm{x}} \\
                    g:(0,1)\to(a,b),\ &g(x) = (b-a)x + a
                \end{align}
        \end{enumerate}
    \end{bsps}
\end{lem}